二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

　　當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　1．二次函數(shù)y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表：

　　解析式

　　y=ax^2;

　　y=ax^2+K

　　y=a(x-h)^2;

　　y=a(x-h)^2+k

　　y=ax^2+bx+c

　　頂點坐標(biāo)

　　(0，0)

　　(0，K)

　　(h，0)

　　(h，k)

　　(-b/2a，4ac-b^2/4a)

　　對 稱 軸

　　x=0

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

　　當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，

　　當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

　　當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象；

　　當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)&sup2;+k的圖象；

　　當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)&sup2;+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

　　2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．

　　3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減��；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減�。�

　　4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c)；

　　(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標(biāo)）

　　當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點；

　　當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點．當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0．

　　5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最值的取值．

　　6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0)．

　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（�。┲禃r，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

　　7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．

　　 歡迎使用手機、平板等移動設(shè)備訪問中考網(wǎng)，2024中考一路陪伴同行！>>點擊查看