2018中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：因式分解法九大方式

　　因式分解法九大方式

 

　　(一)運(yùn)用公式法：

 

　　我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過(guò)來(lái)就是把多項(xiàng)式分解因式。于是有：

 

　　a2-b2=(a+b)(a-b)

 

　　a2+2ab+b2=(a+b)2

 

　　a2-2ab+b2=(a-b)2

 

　　如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。

 

　　(二)平方差公式

 

　　1.平方差公式

 

　　(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)

 

　　(2)語(yǔ)言：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。這個(gè)公式就是平方差公式。

 

　　(三)因式分解

 

　　1.因式分解時(shí)，各項(xiàng)如果有公因式應(yīng)先提公因式，再進(jìn)一步分解。

 

　　2.因式分解，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。

 

　　(四)完全平方公式

 

　　(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反過(guò)來(lái)，就可以得到：

 

　　a2+2ab+b2 =(a+b)2

 

　　a2-2ab+b2 =(a-b)2

 

　　這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方。

 

　　把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。

 

　　上面兩個(gè)公式叫完全平方公式。

 

　　(2)完全平方式的形式和特點(diǎn)

 

　�、夙�(xiàng)數(shù)：三項(xiàng)

 

　�、谟袃身�(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的的平方和，這兩項(xiàng)的符號(hào)相同。

 

　　③有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍。

 

　　(3)當(dāng)多項(xiàng)式中有公因式時(shí)，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。

 

　　(4)完全平方公式中的a、b可表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式。這里只要將多項(xiàng)式看成一個(gè)整體就可以了。

 

　　(5)分解因式，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

 

　　(五)分組分解法

 

　　我們看多項(xiàng)式am+ an+ bm+ bn，這四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.

 

　　如果我們把它分成兩組(am+ an)和(bm+ bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式.

 

　　原式=(am +an)+(bm+ bn)

 

　　=a(m+ n)+b(m +n)

 

　　做到這一步不叫把多項(xiàng)式分解因式，因?yàn)樗�不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項(xiàng)還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以

 

　　原式=(am +an)+(bm+ bn)

 

　　=a(m+ n)+b(m+ n)

 

　　=(m +n)?(a +b).

 

　　這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法.從上面的例子可以看出，如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來(lái)分解因式.

 

　　(六)提公因式法

 

　　1.在運(yùn)用提取公因式法把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，首先觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定多項(xiàng)式的公因式.當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，可以用設(shè)輔助元的方法把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式，也可以把這個(gè)多項(xiàng)式因式看作一個(gè)整體，直接提取公因式;當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是隱含的時(shí)候，要把多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃�，或改變符�?hào)，直到可確定多項(xiàng)式的公因式.

 

　　2. 運(yùn)用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進(jìn)行因式分解要注意：

 

　　1.必須先將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和等于 一次項(xiàng)的系數(shù).

 

　　2.將常數(shù)項(xiàng)分解成滿足要求的兩個(gè)因數(shù)積的多次嘗試，一般步驟： ① 列出常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積各種可能情況;

 

　�、趪L試其中的哪兩個(gè)因數(shù)的和恰好等于一次項(xiàng)系數(shù).

 

　　3.將原多項(xiàng)式分解成(x+q)(x+p)的形式.

 

　　(七)分式的乘除法

 

　　1.把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

 

　　2.分式進(jìn)行約分的目的是要把這個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式.

 

　　3.如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項(xiàng)式不能分解因式，此時(shí)就不能把分子、分母中的某些項(xiàng)單獨(dú)約分.

 

　　4.分式約分中注意正確運(yùn)用乘方的符號(hào)法則，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3.

 

　　5.分式的分子或分母帶符號(hào)的n次方，可按分式符號(hào)法則，變成整個(gè)分式的符號(hào)，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負(fù)來(lái)處理.當(dāng)然，簡(jiǎn)單的分式之分子分母可直接乘方.

 

　　6.注意混合運(yùn)算中應(yīng)先算括號(hào)，再算乘方，然后乘除，最后算加減.

 

　　(八)分?jǐn)?shù)的加減法

 

　　1.通分與約分雖都是針對(duì)分式而言，但卻是兩種相反的變形.約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，而通分是針對(duì)多個(gè)分式而言;約分是把分式化簡(jiǎn)，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統(tǒng)一起來(lái).

 

　　2.通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形，其共同點(diǎn)是保持分式的值不變.

 

　　3.一般地，通分結(jié)果中，分母不展開(kāi)而寫(xiě)成連乘積的形式，分子則乘出來(lái)寫(xiě)成多項(xiàng)式，為進(jìn)一步運(yùn)算作準(zhǔn)備.

 

　　4.通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).

 

　　5.通分的關(guān)鍵：確定幾個(gè)分式的公分母.

 

　　通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

 

　　6.類(lèi)比分?jǐn)?shù)的通分得到分式的通分：

 

　　把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

 

　　7.同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

 

　　同分母的分式加減運(yùn)算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為整式運(yùn)算。

 

　　8.異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥�分母的分式，然后再加減.

 

　　9.同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運(yùn)算，但注意每個(gè)分子是個(gè)整體，要適時(shí)添上括號(hào).

 

　　10.對(duì)于整式和分式之間的加減運(yùn)算，則把整式看成一個(gè)整體，即看成是分母為1的分式，以便通分.

 

　　11.異分母分式的加減運(yùn)算，首先觀察每個(gè)公式是否最簡(jiǎn)分式，能約分的先約分，使分式簡(jiǎn)化，然后再通分，這樣可使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

 

　　12.作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡(jiǎn)分式.

 

　　(九)含有字母系數(shù)的一元一次方程

 

　　1.含有字母系數(shù)的一元一次方程

 

　　引例：一數(shù)的a倍(a≠0)等于b，求這個(gè)數(shù)。用x表示這個(gè)數(shù)，根據(jù)題意，可得方程 ax=b(a≠0)

 

　　在這個(gè)方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對(duì)x來(lái)說(shuō)，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。這個(gè)方程就是一個(gè)含有字母系數(shù)的一元一次方程。 含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過(guò)的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個(gè)式子的值不能等于零。