5.行程問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
1.行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系：路程=速度×時(shí)間 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間
2.行程問(wèn)題基本類型(1)相遇問(wèn)題： 快行距+慢行距=原距(2)追及問(wèn)題： 快行距-慢行距=原距(3)航行問(wèn)題： 順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系
(二)例題解析
1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時(shí)，已知步行速度為每小時(shí)8千米，公交車的速度為每小時(shí)40千米，設(shè)甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_(kāi)____ 。
解：等量關(guān)系 步行時(shí)間-乘公交車的時(shí)間=3.6小時(shí)
列出方程是：X/8-X/40=3.6
2.某人從家里騎自行車到學(xué)校。若每小時(shí)行15千米，可比預(yù)定時(shí)間早到15分鐘;若每小時(shí)行9千米，可比預(yù)定時(shí)間晚到15分鐘;求從家里到學(xué)校的路程有多少千米?
解：等量關(guān)系
⑴ 速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程
⑵ 速度15千米行的時(shí)間+15分鐘=速度9千米行的時(shí)間-15分鐘
提醒：速度已知時(shí)，設(shè)時(shí)間列路程等式的方程，設(shè)路程列時(shí)間等式的方程。
方法一：設(shè)預(yù)定時(shí)間為x小/時(shí)，則列出方程是：15(x-0.25)=9(x+0.25)
方法二：設(shè)從家里到學(xué)校有x千米，則列出方程是：
X/15+15/60=X/9-15/60
3.一列客車車長(zhǎng)200米，一列貨車車長(zhǎng)280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開(kāi)經(jīng)過(guò)16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問(wèn)兩車每秒各行駛多少米?
提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長(zhǎng)和為總路程的相遇問(wèn)題。
等量關(guān)系：快車行的路程+慢車行的路程=兩列火車的車長(zhǎng)之和
設(shè)客車的速度為3X米/秒，貨車的速度為2X米/秒，
則 16×3X+16×2X=200+280
4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時(shí)向南行進(jìn)。行人的速度是每小時(shí)3.6km，騎自行車的人的速度是每小時(shí)10.8km。如果一列火車從他們背后開(kāi)來(lái)，它通過(guò)行人的時(shí)間是22秒，通過(guò)騎自行車的人的時(shí)間是26秒。
⑴ 行人的速度為每秒多少米?
⑵ 這列火車的車長(zhǎng)是多少米?
提醒：將火車車尾視為一個(gè)快者，則此題為以車長(zhǎng)為提前量的追擊問(wèn)題。
等量關(guān)系：
① 兩種情形下火車的速度相等
② 兩種情形下火車的車長(zhǎng)相等
在時(shí)間已知的情況下，設(shè)速度列路程等式的方程，設(shè)路程列速度等式的方程。
解：
⑴ 行人的速度是：3.6km/時(shí)=3600米÷3600秒=1米/秒
騎自行車的人的速度是：10.8km/時(shí)=10800米÷3600秒=3米/秒
⑵ 方法一：設(shè)火車的速度是X米/秒，則 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4
方法二：設(shè)火車的車長(zhǎng)是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26
6.一次遠(yuǎn)足活動(dòng)中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發(fā)。汽車速度是60千米/時(shí)，步行的速度是5千米/時(shí)，步行者比汽車提前1小時(shí)出發(fā)，這輛汽車到達(dá)目的地后，再回頭接步行的這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。
問(wèn)：步行者在出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間與回頭接他們的汽車相遇(汽車掉頭的時(shí)間忽略不計(jì))
提醒：此類題相當(dāng)于環(huán)形跑道問(wèn)題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程+汽車行的總路程=60×2
解：設(shè)步行者在出發(fā)后經(jīng)過(guò)X小時(shí)與回頭接他們的汽車相遇，則 5X+60(X-1)=60×2
7.某人計(jì)劃騎車以每小時(shí)12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時(shí)間到達(dá)B地，但他因事將原計(jì)劃的時(shí)間推遲了20分，便只好以每小時(shí)15千米的速度前進(jìn)，結(jié)果比規(guī)定時(shí)間早4分鐘到達(dá)B地，求A、B兩地間的距離。
解：方法一：設(shè)由A地到B地規(guī)定的時(shí)間是 x 小時(shí)，則
12x=15×(X-20/60-4/60)
X=2
12X=12×2=24(千米)
方法二：設(shè)由A、B兩地的距離是 x 千米，則(設(shè)路程，列時(shí)間等式)
X/12-X/15=20/60+4/60
X=24
答：A、B兩地的距離是24千米。
溫馨提醒：當(dāng)速度已知，設(shè)時(shí)間，列路程等式;設(shè)路程，列時(shí)間等式是我們的解題策略。
8.一列火車勻速行駛，經(jīng)過(guò)一條長(zhǎng)300m的隧道需要20s的時(shí)間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10s，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長(zhǎng)度?火車的長(zhǎng)度是多少?若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。
解析：只要將車尾看作一個(gè)行人去分析即可，前者為此人通過(guò)300米的隧道再加上一個(gè)車長(zhǎng)，后者僅為此人通過(guò)一個(gè)車長(zhǎng)。
此題中告訴時(shí)間，只需設(shè)車長(zhǎng)列速度關(guān)系，或者是設(shè)車速列車長(zhǎng)關(guān)系等式。
解：方法一：設(shè)這列火車的長(zhǎng)度是x米，根據(jù)題意，得
(300+X)/20=X/10
x=300
答：這列火車長(zhǎng)300米。
方法二：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，
根據(jù)題意，得
20x-300=10x x=30 10x=300
答：這列火車長(zhǎng)300米。
9.甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來(lái)從甲地到乙地要用15小時(shí)，開(kāi)通高速鐵路后，車速平均每小時(shí)比原來(lái)加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時(shí)即可到達(dá)，列方程得________ 。
X/10-X/15=60
10.兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長(zhǎng)為100米，慢車車長(zhǎng)150米，已知當(dāng)兩車相向而行時(shí)，快車駛過(guò)慢車某個(gè)窗口所用的時(shí)間為5秒。
⑴ 兩車的速度之和及兩車相向而行時(shí)慢車經(jīng)過(guò)快車某一窗口所用的時(shí)間各是多少?
⑵ 如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，那么從快車的車頭趕上慢車的車尾開(kāi)始到快車的車尾離開(kāi)慢車的車頭所需的時(shí)間至少是多少秒?
解析：① 快車駛過(guò)慢車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為快車車長(zhǎng)!
② 慢車駛過(guò)快車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為慢車車長(zhǎng)!
③ 快車從后面追趕慢車時(shí)：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為兩車車長(zhǎng)之和!
解：⑴ 兩車的速度之和=100÷5=20(米/秒)
慢車經(jīng)過(guò)快車某一窗口所用的時(shí)間=150÷20=7.5(秒)
⑵ 設(shè)至少是x秒，(快車車速為20-8)
則 (20-8)X-8X=100+150
X=62.5
答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過(guò)慢車。
11.甲、乙兩人同時(shí)從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時(shí)，甲先到達(dá)B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時(shí)距他們出發(fā)時(shí)已過(guò)了3小時(shí)。求兩人的速度。
解：設(shè)乙的速度是X千米/時(shí)，則
3X+3 (2X+2)=25.5×2
∴ X=5
2X+2=12
答：甲、乙的速度分別是12千米/時(shí)、5千米/時(shí)。
12.一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭之間的距離。
解：設(shè)船在靜水中的速度是X千米/時(shí)，則
3×(X-3)=2×(X+3)
解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)
答：兩碼頭之間的距離是36千米。
13.小明在靜水中劃船的速度為10千米/時(shí)，今往返于某條河，逆水用了9小時(shí)，順?biāo)昧?小時(shí)，求該河的水流速度。
解：設(shè)水流速度為x千米/時(shí)，
則9(10-X)=6(10+X)
解得X=2
答：水流速度為2千米/時(shí)
14.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時(shí)，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時(shí)，水流的速度為2.5千米/時(shí)，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。
解：設(shè)A與B的距離是X千米，(請(qǐng)你按下面的分類畫出示意圖，來(lái)理解所列方程)
① 當(dāng)C在A、B之間時(shí)，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20
解得x=120
② 當(dāng)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20
解得x=56
答：A與B的距離是120千米或56千米。
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