2023年初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)：利用垂線段最短解決線段最值問題

定理:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

證明如下：

作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接CP'，DP'。

易知CP=CP'，DP=DP'

根據(jù)連點(diǎn)之間線段最短可得，

PP'≤CP+CP',即2PD≤2PC。

所以PD≤PC。

定理的應(yīng)用

一、求線段最值問題中的應(yīng)用

1、如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點(diǎn)E是對(duì)稱軸AD上一點(diǎn)，將點(diǎn)E繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F.求線段DF的最小值。

解：

作AC的中點(diǎn)G，連接EG。

易證△CDF≌△CGE.所以DF=GE。

要使DF有最小值，只需GE取最小值。

根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)GE⊥AD時(shí)，GE最小。

此時(shí)GE=1/2AG=1/4AC=3/2。

所以DF的最小值為3/2。

反思：本題實(shí)質(zhì)上就是結(jié)合題中給出的等邊三角形，構(gòu)造了一對(duì)手拉手等邊三角形。當(dāng)然也可以從捆綁旋轉(zhuǎn)的角度出發(fā)，先找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，再構(gòu)造全等三角形或直接建立坐標(biāo)系求出軌跡的方程，運(yùn)用垂線段最短加以解決。

2、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AC、AB上的動(dòng)點(diǎn).連接EP、EF，求EP+EF的最小值。

解：

將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)N處，AN交CD于點(diǎn)G,

點(diǎn)P落在CN上的點(diǎn)Q處。

連接EQ，則EP=EQ。

連接FQ，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M。

則EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM。

易證△ADG≌△CNG。

設(shè)DG=x，則AG=4-x。

在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理可得，

AG²=DG²+AD²，即(4-x)²=x²+3²

解得，x=7/8

即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8。

所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25。

QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50。

所以EP+EF的最小值為171/50。

3、如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn). 點(diǎn)P沿DE--EA折線運(yùn)動(dòng)，在DE、EA上速度分別是每秒1和5/3個(gè)單位.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試求t的最小值。

分析：

由題可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA。這是一個(gè)典型的胡不歸問題。以A為頂點(diǎn)在AE的上方構(gòu)造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5。利用垂線段最短即可解決。

解：

過點(diǎn)A作BC的平行線AG，則sin∠EAG=sin∠B=3/5。

分別過點(diǎn)E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分別是點(diǎn)M、N。

易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)P重合時(shí)取等號(hào).此時(shí)DN=6

所以t的最小值為6。

二、求線段取值范圍中的應(yīng)用

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E.求線段AE的最小值。

分析：

作AE的中點(diǎn)F，連接FD.過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G.

設(shè)AE=x,用含x的代數(shù)式表示出GF和DF，

由垂線段最短可得，GF≤DF.解不等式即可得出結(jié)果。

解：

如圖，作AE的中點(diǎn)F，連接FD.過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G。

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